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一 准备知识

堆的结构可以分为大根堆和小根堆,是一个完全二叉树,而堆排序是根据堆的这种数据结构设计的一种排序,下面先来看看什么是大根堆和小根堆

1.1 大根堆和小根堆

性质:每个结点的值都大于其左孩子和右孩子结点的值,称之为大根堆;每个结点的值都小于其左孩子和右孩子结点的值,称之为小根堆。如下图

我们对上面的图中每个数都进行了标记,上面的结构映射成数组就变成了下面这个样子

还有一个基本概念:查找数组中某个数的父结点和左右孩子结点,比如已知索引为_i_的数,那么

1.父结点索引:(_i_-1)/2(这里计算机中的除以2,省略掉小数)

2.左孩子索引:2*_i_+1

3.右孩子索引:2*_i_+2

所以上面两个数组可以脑补成堆结构,因为他们满足堆的定义性质:

大根堆:arr(i)>arr(2*i+1) \&\& arr(i)>arr(2*i+2)

小根堆:arr(i)\<arr(2*i+1) \&\& arr(i)\<arr(2*i+2)

二 堆排序基本步骤

基本思想:

1.首先将待排序的数组构造成一个大根堆,此时,整个数组的最大值就是堆结构的顶端

2.将顶端的数与末尾的数交换,此时,末尾的数为最大值,剩余待排序数组个数为n-1

3.将剩余的n-1个数再构造成大根堆,再将顶端数与n-1位置的数交换,如此反复执行,便能得到有序数组

2.1 构造堆

将无序数组构造成一个大根堆(升序用大根堆,降序就用小根堆)

假设存在以下数组

主要思路:第一次保证0~0位置大根堆结构(废话),第二次保证0~1位置大根堆结构,第三次保证0~2位置大根堆结构…直到保证0~n-1位置大根堆结构(每次新插入的数据都与其父结点进行比较,如果插入的数比父结点大,则与父结点交换,否则一直向上交换,直到小于等于父结点,或者来到了顶端)

插入6的时候,6大于他的父结点3,即arr(1)>arr(0),则交换;此时,保证了0~1位置是大根堆结构,如下图:

(友情提示:待交换的数为蓝色,交换后的数为绿色)

插入8的时候,8大于其父结点6,即arr(2)>arr(0),则交换;此时,保证了0~2位置是大根堆结构,如下图

插入5的时候,5大于其父结点3,则交换,交换之后,5又发现比8小,所以不交换;此时,保证了0~3位置大根堆结构,如下图

插入7的时候,7大于其父结点5,则交换,交换之后,7又发现比8小,所以不交换;此时整个数组已经是大根堆结构

2.2 固定最大值再构造堆

此时,我们已经得到一个大根堆,下面将顶端的数与最后一位数交换,然后将剩余的数再构造成一个大根堆

(友情提示:黑色的为固定好的数字,不再参与排序)

此时最大数8已经来到末尾,则固定不动,后面只需要对顶端的数据进行操作即可,拿顶端的数与其左右孩子较大的数进行比较,如果顶端的数大于其左右孩子较大的数,则停止,如果顶端的数小于其左右孩子较大的数,则交换,然后继续与下面的孩子进行比较

下图中,5的左右孩子中,左孩子7比右孩子6大,则5与7进行比较,发现5\<7,则交换;交换后,发现5已经大于他的左孩子,说明剩余的数已经构成大根堆,后面就是重复固定最大值,然后构造大根堆

如下图:顶端数7与末尾数3进行交换,固定好7,

剩余的数开始构造大根堆 ,然后顶端数与末尾数交换,固定最大值再构造大根堆,重复执行上面的操作,最终会得到有序数组

三 总结

到这里,大家应该对堆排序都有了自己的见解,我们对上面的流程总结下:

1、首先将无需数组构造成一个大根堆(新插入的数据与其父结点比较)

2、固定一个最大值,将剩余的数重新构造成一个大根堆,重复这样的过程

四 代码

代码中主要两个方法:

1、将待排序数组构造成一个大根堆(元素上升)

2、固定一个最大值,将剩余的数再构造成一个大根堆(元素下降)

//堆排序
public static void heapSort(int[] arr) {
//构造大根堆
heapInsert(arr);
int size = arr.length;
while (size > 1) {
//固定最大值
swap(arr, 0, size - 1);
size--;
//构造大根堆
heapify(arr, 0, size);

}

}

//构造大根堆(通过新插入的数上升)
public static void heapInsert(int[] arr) {
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
//当前插入的索引
int currentIndex = i;
//父结点索引
int fatherIndex = (currentIndex - 1) / 2;
//如果当前插入的值大于其父结点的值,则交换值,并且将索引指向父结点
//然后继续和上面的父结点值比较,直到不大于父结点,则退出循环
while (arr[currentIndex] > arr[fatherIndex]) {
//交换当前结点与父结点的值
swap(arr, currentIndex, fatherIndex);
//将当前索引指向父索引
currentIndex = fatherIndex;
//重新计算当前索引的父索引
fatherIndex = (currentIndex - 1) / 2;
}
}
}
//将剩余的数构造成大根堆(通过顶端的数下降)
public static void heapify(int[] arr, int index, int size) {
int left = 2 * index + 1;
int right = 2 * index + 2;
while (left < size) {
int largestIndex;
//判断孩子中较大的值的索引(要确保右孩子在size范围之内)
if (arr[left] < arr[right] && right < size) {
largestIndex = right;
} else {
largestIndex = left;
}
//比较父结点的值与孩子中较大的值,并确定最大值的索引
if (arr[index] > arr[largestIndex]) {
largestIndex = index;
}
//如果父结点索引是最大值的索引,那已经是大根堆了,则退出循环
if (index == largestIndex) {
break;
}
//父结点不是最大值,与孩子中较大的值交换
swap(arr, largestIndex, index);
//将索引指向孩子中较大的值的索引
index = largestIndex;
//重新计算交换之后的孩子的索引
left = 2 * index + 1;
right = 2 * index + 2;
}

}
//交换数组中两个元素的值
public static void swap(int[] arr, int i, int j) {
int temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}

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文章目录
  1. 1. 一 准备知识
    1. 1.1. 1.1 大根堆和小根堆
  2. 2. 二 堆排序基本步骤
    1. 2.1. 2.1 构造堆
    2. 2.2. 2.2 固定最大值再构造堆
  3. 3. 三 总结
  4. 4. 四 代码